Problemópolis é um lugar curioso. Além de reis enófilos cruéis, mesas de bilhar enigmáticas e funcionários públicos, há um lago infinito em todas as direções, com pedras uniformemente espaçadas num arranjo quadriculado infinito. Isto é: Problemópolis tem um lago isomorfo ao plano .

Um sapo está sentado na pedra (0,0), e a cada segundo pula para uma pedra diretamente ao leste ou ao norte. Isto é, se o sapo está na pedra (m,n), no segundo seguinte ele estará na pedra (m+1,n) ou (m,n+1).

Joãozinho observa o sapo por algum tempo e nota que, em certo momento, o sapo já visitou três pedras colineares. Observa mais um pouco, e nota que o sapo visitou quatro pedras colineares (não necessariamente incluindo as três primeiras). Joãozinho então se pergunta: será que, se eu olhar por bastante tempo, o sapo visitará k pedras colineares, qualquer que seja k?

Outro atentado da rainha vizinha contra o rei malvado (ver problema Degustadores Facínoras). Novamente, uma única garrafa da adega real foi comprometida, e novamente não se sabe exatamente qual… Desta vez, porém, os tempos estão mais difíceis, e o rei possui apenas 240 garrafas e cinco prisioneiros (os quais estão disponíveis para sacrifício). Sabendo que o veneno pode levar até um mês para se manifestar, como o rei deve proceder para identificar a bebida envenenada em até dois meses (*)?

(*) Despreze gastos de tempo com “logística”. Considere relevante apenas o tempo necessário para o veneno fazer efeito.

O problema foi proposto pelo brunoargento no twitter (aqui e aqui).

A rotina de Zé Problemildo, funcionário público aposentado, é socializar com seus amigos da terceira idade ali na Praça dos Problemas, não muito longe da prefeitura da cidade. O principal divertimento dessa turma é, pasmem, jogar dominó. Jogo vai, jogo vem, Zé resolveu inovar com uma brincadeira boba. Ele pegava uma peça de dominó ao acaso e via só um dos números. Em seguida, tentava adivinhar qual era o número escondido. Depois de repetir o processo algumas vezes, perguntou-se qual seria a chance de os dois números coincidirem. Eis a questão, caros leitores: qual é essa probabilidade?

Nota: o problema é fácil mesmo.

O padrão de tijolo de Problemópolis é de 2 por 1 pés, medidos segundo os do rei-prefeito da cidade. Enfadado, o dito cujo baixa uma lei nova: todas as casas serão compostas de quatro paredes retangulares, de x por y pés, cobertas inteiramente por tijolos padrão. Só que, em um parágrafo adicionado sorrateiramente por um vereador da oposição em uma seção esvaziada, a lei obriga que não haja duas paredes com o mesmo padrão de tijolos na cidade.

Preocupado, e sem base nem apoio popular para vetar a lei que ele mesmo inventou, o prefeito quer saber quantas casas podem ser construídas em Problemópolis. Ele começa a fazer umas contas, e vê que se x e y forem ambos ímpares, nenhuma casa poderá ser construída. Se x for 4 e y for 11, poderá haver 36 casas na cidade. Mas só saber isso não resolve. O problema é, quantas casas podem ser construídas, em função de x e de y?

(Se você for computeiro, ou souber programar alguma coisinha, depois de resolver o problema teste sua solução em http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2411)

Esse problema é bem difícil, eu passei horas batendo a cabeça em cima dele sem sucesso. Se você resolver googlar, talvez encontre uma solução que inclui o uso de senos e cossenos: sim, um problema de combinatória (inteira) que é resolvido com contas irracionais. Mas existe uma solução inteira, e é essa que é divertido descobrir.

Nim é um jogo muito interessante. A versão simples dele é a seguinte: há várias pilhas de moedas sobre uma mesa e dois jogadores, cada um retira alternadamente um número de moedas maior ou igual a 1 de uma só pilha. Aquele que tirar a última moeda sobre a mesa, perde. A parte fácil do problema de hoje é a seguinte. Dadas 7 pilhas de moedas, a primeira com uma moeda, a segunda com duas, …, a última com sete, desenvolva uma estratégia para ganhar o jogo.

Vamos fazer agora um jogo diferente. Há apenas uma pilha, mas você pode tirar 1, 2 ou 3 moedas apenas. Desenvolva uma estratégia para ganhar.

Terceira versão: Resolva os problemas anteriores novamente, só que agora ganha quem tirar a última moeda.

Finalmente, a versão divertida: Sejam k pilhas, tendo n1, n2, …, n_k moedas cada. Você pode tirar entre 1 e z moedas, z > 1, de qualquer pilha. Desenvolva duas estratégias distintas: uma para tirar a última moeda, e outra para obrigar seu oponente a tirar a última moeda. Esse é um problema difícil, mas tente chegar o mais próximo possível antes de consultar o Google

Este é meu post de estréia em Problemópolis. Agradeço o convite para participar da equipe.

O programa de TV de maior audiência de Problemópolis é o “Porta dos Problemáticos”. O apresentador, Sérgio Problemandro, apresenta ao participante três portas. Uma contém o maníaco da serra elétrica, outra a Dilma Rousseff e a outra o Problemation VVII com todos os jogos de Rock Hero e Guitar Band, e uma guitarra, um baixo, uma bateria, um teclado e um vocoder, um cravo e um alaúde (para o Baroque Monster Pack) todos USB3.

Sérgio pede que o participante escolha uma porta, aleatoriamente. Depois que ele faz a escolha, o apresentador abre uma das portas com monstros. Sobram duas portas, e Sérgio Problemandro pergunta: você quer trocar de porta?

O problema é: trocar de porta é vantajoso, desvantajoso ou tanto faz? Por quê?

Dica: Inicialmente, a chance do Problemation estar na porta escolhida é de 1/3.

***

Esse problema é bastante conhecido, e talvez você já saiba a resposta. Mesmo assim, tente provar a sua resposta e, se estiver muito fácil, generalize para P portas e N = P-1 escolhas.

Hoje, tenho dois problemas meio relacionados. O primeiro, Lemmings, vem do site do William Wu, é meu velho conhecido, e possui uma das soluções mais bonitas e surpreendentes que já vi. De fato, quando alguém me pede um exemplo das “epifanias” que experimentamos ao resolver problemas como os deste site, é no Lemmings que penso primeiro. Aqui vai.

Boiando num lago de Problemópolis há uma tábua estreita de 100m de comprimento. Sobre esta tábua estão 20 lemmings parados (em pontos aleatórios), cada um virado (aleatoriamente) para uma das extremidades da tábua. Num dado momento, todos os 20 começam a caminhar na direção em que estão virados, e dali em diante a ação ocorre assim:

• todos os lemmings andam a 1 m/s;
• se um lemming chega ao fim da tábua, ele cai no lago;
• se dois lemmings se batem, vindo de direções opostas, cada um dá meia-volta e continua andando na direção contrária à que veio.

As perguntas são: todos os lemmings eventualmente caem na água? Em caso afirmativo, existe um tempo máximo, após o qual todos os lemmings terão caído no lago, independente da configuração inicial? Em caso afirmativo, qual o menor tempo em que isso pode ser garantido?

O segundo problema, que vi esta semana e motivou este post, é o seguinte.

Suponha que 20 lemmings estão dispostos aleatoriamente num círculo de 100m de circunferência, cada um virado numa direção aleatória (horário ou anti-horário, cada um com probabilidade 1/2). Num dado momento, todos os lemmings começam a andar (ao longo do círculo) na direção em que estão virados, e a dinâmica é exatamente a mesma de antes (exceto que ninguém “sai” do círculo). Qual a probabilidade que um lemming em particular (o Zezé), transcorridos 100 segundos, se veja no exato mesmo ponto de onde saiu?

A solução do primeiro problema é tão elegante que eu o julgava irretocável; mas a do segundo usa-a em conjunção com uma idéia ainda mais bonita.

Um conselho: no segundo problema, experimentação com casos pequenos ajuda a eliminar conjecturas tentadoras mas falsas.

Dado este quadrado de lado 1, qual o valor de x?

Este problema trata de partições de números inteiros, que é apenas um termo técnico significando “jeito de escrever um número como soma de outros números”. Por exemplo, 2+3 é uma partição de 5. Como a adição é comutativa, convencionamos que 3+2 e 2+3 são “a mesma” partição de 5; por exemplo, 4 tem cinco partições no total (cada linha abaixo conta como uma partição só):

1+1+1+1

2+1+1 = 1+2+1 = 1+1+2

2+2

3+1 = 1+3

4

Para cada número natural , denotamos por o conjunto das partições de . Um elemento típico de será denotado . Algumas estatísticas de partições são estudadas em matemática, isto é, funções cujos argumentos são partições e que retornam números. Uma possível estatística seria a função , que retorna o menor elemento de uma partição. Por exemplo, .

Há algumas estatísticas menos óbvias, mas com relações interessantes entre si. Por exemplo, se , defina

número de s que aparecem em ;

número de números distintos em .

Por exemplo, , e . O primeiro problema é demonstrar que

para qualquer . Em palavras: somando o número de s que aparece em todas as partições possíveis de , obtém-se o mesmo resultado que somando o número de elementos distintos em cada partição. Para , estas duas somas valem 7. (Confira!)

O segundo problema é sobre estatísticas do próprio . Defina como o número de partições de que consistem apenas de números ímpares; e.g. . Defina como o número de partições de sem elementos repetidos, como 1+3 (mas não 1+1+2); e.g. .

O desafio agora é demonstrar que para qualquer .

Neste post, eu gostaria de atrair a atenção dos leitores a alguns problemas que surgiram nos comentários de outros posts, e que continuam sem solução, não obstante algumas tentativas de minha parte.

Piratas Gananciosos

O primeiro surgiu num post do André, Piratas Gananciosos. Leia a descrição daquele problema, e resolva-o. Não é nada de muito assombroso, basta ir com calma e tentar versões mais simples antes. (Que, reitero, é uma regra geral para resolução eficiente de problemas.) A pergunta é: o que acontece quando há N piratas em vez de 5? (Mantendo 1000 reais de tesouro.) Note que, para N > 5000 (por exemplo), a granularidade do tesouro — o fato de que não dá pra parti-lo em mais de 1000 pedaços — faz diferença. A pergunta, por enquanto, não é a solução pra N genérico, que eu nem sei se existe numa forma fechada e bonitinha; o que eu gostaria de saber é o tipo de comportamento que se espera quando N –> oo. Por exemplo, pra 2 < N < 1000, é fácil mostrar que quem se dá melhor é o pirata que começa as propostas.Também observa-se que nenhum pirata morre. Até onde isto se estende? Para N > 5000, o primeiro pirata a fazer proposta morre? Qual é a distribuição de mortes deste pirata, quando N cresce? Alterna no morre — não morre, ou surge um padrão mais complexo? É fácil ver que o primeiro pirata sobrevive para infinitos valores de N , e também que morre para outros infinitos valores de N (exercício). Estenda este resultado! Talvez seja proveitoso programar um computador para obter as respostas no intervalo 1 < N < 1000 (ou 2000). (Há um algoritmo simples, mas chatinho de programar.)

Pôquer Los Problemas

O segundo problema é uma extensão do Pôquer Los Problemas: lá, o enunciado diz que ocorrem apenas duas trocas de carta por parte de cada jogador. O que acontece se exigirmos que o jogo continue até acabar o baralho? A única evidência que tenho é que, quando o segundo jogador é inteligente, e o primeiro não é burro demais, é possível o segundo ganhar. (Eu, player 1, joguei contra minha namorada, player 2, e perdi.)